Le code, l’énigme maths du « Monde » n° 72

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Il y a dix chiffres différents (de 0 à 9) donc les nombres additionnés ne peuvent pas faire plus de cinq chiffres chacun (s’ils avaient un nombre différent de chiffres, les dernières colonnes de l’addition ne feraient pas de retenues). Pour faire une addition de nombres à cinq chiffres avec des retenues pour toutes les colonnes, il faut que la somme des unités fasse au moins 10 et les sommes des colonnes suivantes au moins 9. La somme totale des chiffres devrait donc être égale à au moins 10+4×9 = 46. Or, la somme des nombres de 0 à 9 vaut 45, ce n’est donc pas suffisant. Ainsi, nous ne pouvons prendre que des nombres à quatrechiffres maximum pour que l’addition respecte les deux contraintes. Pour que le résultat soit le plus grand possible, on pourrait être tenté de mettre les plus grands chiffres en premier et de chercher une somme de la forme 9XXX + 8XXX, mais, pour la même raison que précédemment, les chiffres restants ne permettent alors pas d’assurer que chaque colonne fasse une retenue. On peut alors chercher une somme de la forme 9XXX + 7XXX. Il y a alors tout juste de quoi assurer une retenue par colonne avec les autres chiffres, par exemple comme ceci : 9 468+ 7 532 = 17 000. Le code est égal à 17 000.